\section{理 想 类 数}
1847 年 3 月 1 日， 巴黎科学院会议上， G. Lamé 宣布完全证明了 Fermat 大定理， 方法是将 $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ (记 $n=p$ 为奇素数) 分解为
\[
c^{p}=a^{p}+b^{p}=(a+b)(a+\zeta b)\left(a+\zeta^{2} b\right) \cdots\left(a+\zeta^{p-1} b\right)
\]
其中 $\zeta=\zeta_{p}=\exp (2 \pi \mathrm{i} / p)$ 为 $p$ 次本原单位根， 然后由 “复数唯一因子分解性” 推导出右方各因子互素， 再导出矛盾。 Liouville 当即指出“复数唯一因子分解性”可能是不对的， 从而引起了科学院内激烈持续的争论。 直到 5 月 24 日， Liouville 宣读 Kummer 来信， 信中说：他三年前已证明了复数唯一分解律是不成立的; 不过这可用他发明的“理想数”来挽救， 分圆域的 “理想数”满足唯一分解律; 用 “理想数”方法可以证明 Fermat 大定理对 100 以内的 $n$ 成立（除 $n=$ $37,59,67$ 之外) (而在此之前的 200 多年间， 只证明了 $n=3,4,5,7$ 这四种情形!). Kummer 的工作开辟了新时代。 他发明的 “理想数” (后来称为 “理想”) 及其分解分类等，是现代数学多个学科的基础。

上节我们已介绍了理想、主理想的定义。在某种意义上， “理想”是 “数” (或元素) 的推广， 有许多类似性质。 特别， 例如在整数环 $R=\mathbb{Z}$ 中， 每个理想
\[
J=(a)=a \mathbb{Z}=\{a k \mid k \in \mathbb{Z}\}
\]
由一个整数生成。 反之， 若 $(a)=(b)$, 则 $a=b k, b=a m$, 故 $a=b k=a m k, 1=$\\
$m k$, 故 $b= \pm a$. 这说明， 每个理想对应于两个数 (是 $\pm 1$ 的倍). 同理在 Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 中， $(a)=(b)$ 意味着 $b=u a(u= \pm 1, \pm \mathrm{i})$, 故每个理想对应着 4 个数。一般地， 在主理想环整 $R$ 中， 每个理想 $J$ 对应着一个数 $a$ 的所有单位倍集 $\{u a\}$. 但是， 在非主理想环中没有这样的简单关系。

\begin{definition}%定义1
设 $R$ 为含么交换环， $I$, $J$ 为其理想， 则定义其和、积如下：

(1) $I+J=\{a+b \mid a \in I, b \in J\}$.

(2) $I J=\left\{a_{1} b_{1}+\cdots+a_{n} b_{n} \mid a_{i} \in I, \quad b_{i} \in J, n \in \mathbb{N}\right\}$.
\end{definition}

显然， $I+J$ 是含 $I, J$ 的最小理想 (是 $I, J$ 中元素生成的理想). $I J$ 即 $I, J$的元素之积生成的理想， 且 $I J \subset I \cap J$ (由吸收律),
\[
J_{1}\left(J_{2} J_{3}\right)=\left(J_{1} J_{2}\right) J_{3}, J_{1}\left(J_{2}+J_{3}\right)=J_{1} J_{2}+J_{1} J_{3}
\]
由此可定义多个理想的和与积。

\begin{example}%例1
$\mathbb{Z}$ 中\\
(4) $+(6)=\{4 k+6 m \mid k, m \in \mathbb{Z}\}=(2)$,\\
(4) $(6)=\{4 k \cdot 6 m \mid k, m \in \mathbb{Z}\}=(24)$.
\end{example}

\begin{definition}%定义2
设 $R$ 为整环， $I, J$ 为其非零理想。 若存在非零的 $r, s \in R$ 使得
\[
(r) I=(s) J
\]
则称理想 $I$ 与 $J$ 同类 (或等价). $R$ 中相互同类的理想集合称为一个理想类。$R$ 中的理想类个数记为 $h(R)$, 称为 $R$ 的理想类数 (或简称类数).
\end{definition}

\begin{example}%例2
我们已经知道 $\mathbb{Z}$ 的理想都是主理想， 故 $I, J$ 皆为主理想， 比如设 $I=(6), J=(10)$, 则 $(5) I=(3) J$, 即 $(5)(6)=$ (3)(10), 故任意 $I$, $J$ 总是同类。 于是知 $h(\mathbb{Z})=1$.
\end{example}

\begin{theorem}%定理1
设 $K$ 为代数数域， $O_{K}$ 是 $K$ 的代数整数环 (见 $\S 7.4$ 定理 1 ). 则以下三者等价： $O_{K}$ 的类数为 1 , 是主理想整环， 是唯一析因整环。 符号表示为
\[
h\left(O_{K}\right)=1 \quad \Leftrightarrow \quad O_{K} \text { 是 PID } \Leftrightarrow O_{K} \text { 是 UFD. }
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
 (1) 若 $h\left(O_{K}\right)=1$, 则所有的理想都同类， 故任意理想 $I$ 与 $(1)=O_{K}$同类， 即存在 $r, s \in R$ 使 $(r) I=(s) R$, 因 $1 \in R$ 故 $s \in(r) I, s=r a(a \in I)$. 故
\[
(r) I=(r a) R, \quad I=(a) R=(a)
\]
为主理想。 故 $O_{K}$ 是 PID.

(2) 若 $O_{K}$ 是 PID, 则任意理想 $I, J$ 均为主理想， 可设 $I=(a), J=(b)$,则 $(b) I=(a) J$. 故任意理想都同类， 故 $h\left(O_{K}\right)=1$.

(3) “ $O_{K}$ 是 $\mathrm{PID} \Rightarrow O_{K}$ 是 UFD”, 上节定理 1 已知。

(4) “ $O_{K}$ 是 $\mathrm{UFD} \Rightarrow O_{K}$ 是 $\mathrm{PID} ”$, 下面再证。
\end{proof}

\begin{example}%例3
虚二次域 $K=Q(\sqrt{d})$ 的理想类数 $h$ 简表 $(|d|<100)$, 见附录 7.2.
\end{example}

\begin{example}%例4
实二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的基本单位 $\varepsilon$ 和理想类数 $h$ 简表， 见附录 7.2.
\end{example}

\begin{theorem}%定理1
将二次数域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 分为了两类： (1) $h(d)=1$ 时， $O_{K}$ 为 PID, UFD, 基本和 Gauss 数、和 Eisenstein 数一样（差别在于， 虽然最大公因子还存在， Bézout 等式还成立， 但是不再一定能用辗转相除法得到最大公因子和 Bézout 等式). (2) $h(d) \neq 1$ 时， $O_{K}$ 不是 UFD, 不再能唯一因子分解。 性质和 Gauss 整数相差很多。 补救的办法是用理想， 因为 $O_{K}$ 中的理想可以唯一因子分解。
\end{theorem}

\begin{example}%例5
从上述提到的表中， 易查到对 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的整数环 $R=O_{K}$ (当 $0<d \leqslant$ 53), $h(d)=h\left(O_{K}\right) \neq 1$ 的有 $d=10,15,26,30,34,35,39,42,51$. 这些二次域 $K(\sqrt{d})$ 中整数不满足唯一因子分解定律。 而其余的 $h(d)=1$, 例如 $d=$ $2,3,5,6,7,10,11$ 等， 相应的域整数可唯一因子分解。
\end{example}

\begin{example}%例6
对虚二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, 比较上节定理 2 和此节例 3 可见，
\[
K=\mathbb{Q}(\sqrt{-19})
\]
是 $|d|$ 最小的虚二次域， 它不是 Euclid 域且类数 $h=1$; 即 $O_{K}$ 是 PID 而非 ED.这是最有名的此类例子。 也就是说， 记 $O_{K}$ 是形如 $(m+n \sqrt{-19}) / 2$ 的复数集合 ( $m, n \in \mathbb{Z}$ 为整数， 奇偶性相同), 则 $O_{K}$ 不是 Euclid 环 (其中元素不能进行带余除法， 不能辗转相除), 但 $O_{K}$ 是唯一析因整环 (其中元素可以唯一因子分解).
\end{example}

下面要讨论 $O_{K}$ 中的理想可以唯一因子分解。 为此， 需先定义素理想。

\begin{definition}%定义3
设 $R$ 是含么交换环， $\wp ， \mathfrak{M}$ 是其理想。

 (1) 称 $\wp(\neq R)$ 为素理想（prime ideal）, 是指 $\wp$ 有如下性质：若 $a b \in \wp$,则 $a \in \wp$ 或 $b \in \wp$ (对任意 $a, b \in R$ ).

 (2) 称 $\mathfrak{M}(\neq R)$ 是极大理想 (maximal ideal), 是指： 不存在理想 $J$ 使
\[
  M \subsetneq J \subsetneq R.
\]
\end{definition}

\begin{example}%例7
设 $R=\mathbb{Z}, p$ 为素数， 则 $p \mathbb{Z}=(p)$ 是素理想， 也是极大理想。 而 $6 \mathbb{Z}=(6)$ 不是素理想， $2 \cdot 3 \in 6 \mathbb{Z}$, 但 $2,3 \notin 6 \mathbb{Z}$. 事实上， $\mathbb{Z}$ 的素理想都形如 $(p)$ ( $p$ 为素数), 见下例。
\end{example}

\begin{example}%例8
在含么交换环 $R$ 中， 主理想是 $(p)$ 为素理想当且仅当 $p$ 为其素元 (定义见上节习题 1). 事实上， $x \in(p)$ 意味着 $p \mid x$. 故 $(p)$ 为素理想的定义可改写为 $p$ 为其素元的定义。 特别可知， Gauss 整数环 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 的素理想都形如 $(\pi), \pi$为 Gauss 素数。\\
理想的最大优势是： 在很多环 $R$ 中， 任一理想可唯一分解为素理想的乘积。 这种环统称为 Dedekind 整环 (Dedekind domain), 其中包括：任一个代数数域 $K$中的代数整数环 $O_{K}(见 \S 7.4$ 节定理 1 )，任一条光滑曲线的坐标环，等等。
\end{example}

\begin{theorem}%定理2
设 $K$ 是一个代数数域， 设 $O_{K}$ 是 $K$ 中的代数整数环(见 8.4 定理 1). 则 $O_{K}$ 中的任一理想 $J$ 可唯一表示为素理想的乘积， 即
\[
J=\wp_{1}^{n_{1}} \cdots \wp_{s}^{n_{s}},
\]
其中 $\wp_{1}, \cdots, \wp_{s}$ 为 $O_{K}$ 中的互异素理想。
\end{theorem}

此 $O_{K}$ 的理想分解定理，与整数分解的“算术基本定理”很像。 由这一类比，我们可以定义 $O_{K}$ 的两个理想 $I$, $J$ 的整除关系 (即定义 $I \mid J$ 为：存在理想 $S$ 使 $I S=J$ ), 定义 $I, J$ 的“最大公因子”
\[
(I, J)=\operatorname{gcd}\{I, J\}
\]
和“最小公倍”
\[
[I, J]=\operatorname{lcm}\{I, J\}
\]
由定义 1 知道 $I J \subset I \cap J$, 即理想是 “越乘越小”的， “倍小于因子”. 故理想集合 “按整除关系的排序”与“按大小关系的排序”是相反的。
\[
(I, J)=\operatorname{gcd}\{I, J\}=I+J
\]
是含 $I, J$ 的最小理想。
\[
[I, J]=\operatorname{lcm}\{I, J\}=I \cap J
\]
是含于 $I, J$ 的最大理想。 甚至我们可以模仿 “分数”定义 “分式理想” ( 即 $I / J$ ).

这些就使得在代数数域 $K$ 为基础的研讨中，处理 $K$ 的“理想”仿佛就像处理“自然数”一样(方便和自由), 这就“避开了”数域 $K$ 中复数不能唯一因子分解的尴迌。人们在研究中 “处理”了理想之后， 再将关于理想的结论 “转化”为 $K$ 中复数即可 (这种转化基于 $O_{K}$ 的单位群).

现在回看定理 1 的证明中 (4) “ $O_{K}$ 是 $\mathrm{UFD} \Rightarrow O_{K}$ 是 PID". 设已知事实： $O_{K}$的任一理想 $I$ 可由有限个元素生成 (事实上可由两个元素生成的). 设
\[
I=\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}\right)
\]
由 $O_{K}$ 是 UFD, 可求得元素的最大公因子 $d=\operatorname{gcd}\left\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}\right\}$, 则可断言 $I=$ (d). 事实上， 记 $\alpha_{i}=\prod_{j} p_{i j}^{n_{i j}}, p_{i j}$ 为素元， 则 $\left(\alpha_{i}\right)=\prod_{j}\left(p_{i j}\right)^{n_{i j}}$, 于是
\[
I=\prod_{j}\left(p_{1 j}\right)^{n_{1 j}}+\cdots+\prod_{j}\left(p_{s j}\right)^{n_{s j}}
\]
\[
=\prod_{j}\left(p_{i j}\right)^{\frac{\min \left|n_{i j}\right|}{i}}=\left(\prod_{j} p_{i j}^{\min \mid n_{i j}}\right)=(d) .
\]
有理素数 $p$ 在 $K$ 的整数环 $O_{K}$ 中生成的理想是 $p O_{K}=\left\{p \alpha \mid \alpha \in O_{K}\right\}$, 它一般不再是素理想， 可分解为 $O_{K}$ 素理想的积 (称为素分解一一素数 $p$ 在 $O_{K}$ (或 $K$ )中的分解)：
\[
p O_{K}=\wp_{1}^{e_{1}} \cdots \wp_{g}^{e_{g}},
\]
其中 $\wp_{1}, \cdots, \wp_{g}$ 为 $O_{K}$ 中的互异素理想， $g$ 称为 $p$ 的分裂次数， $e_{i}$ 称为 $\wp_{i}$ 的分歧指数。 当 $K$ 为二次数域时， 素分解定理如下。

\begin{theorem}%定理3
设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 是二次数域， $O_{K}$ 是 $K$ 的整数环。

(1) 奇素数 $p$ 在 $O_{K}$ 中的分解如下：
\[
p O_{\kappa}=\left\{\begin{array}{lll}
\wp^{2}, & \wp=(p, \sqrt{d}) & \text { 若 } d \equiv 0 \quad(\bmod p) ; \\
\wp_{1} \wp_{2}, & \wp_{i}=(p, \sqrt{d} \pm a), & \text { 若 }\left(\frac{d}{p}\right)=1, d \equiv a^{2} \quad(\bmod p), 0 \neq a \in \mathbb{Z} ; \\
\wp, & \text { 若 }\left(\frac{d}{p}\right)=-1 .
\end{array}\right.
\]

 (2) 素数 2 在 $O_{K}$ 中的分解如下：
\[
2 O_{K}=\left\{\begin{array}{lll}
\wp^{2}, & \wp=(2, \sqrt{d}) \text { 或 }(2, \sqrt{d}+1), & \text { 各若 } d \equiv 2 \text { 或 } 3(\bmod 4) ； \\
\wp_{2}, & \wp_{i}=(2,(1 \pm \sqrt{d}) / 2), & \text { 若 } d \equiv 1 \quad(\bmod 8) ； \\
\wp=(2), & \text { 若 } d \equiv 5 \quad(\bmod 8) .
\end{array}\right.
\]
对 $p O_{K}=\wp^{2}, \wp_{1} \wp_{2}, \wp$ 三种情形 (其中 $\wp, \wp_{i}$ 为 $O_{K}$ 的互异素理想), 分别称 $p$在 $K$ 是分歧、分裂和惯性的。
\end{theorem}

可以证明， $O_{K}$ 的任意素理想 $\wp$ 一定是某 $p O_{K}$ 的因子 (如上), $p \in \mathbb{Z}$ 为素数。

\begin{example}%例9
设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. 对 $p=3,(-5 / 3)=(1 / 3)=1$, 且 $-5 \equiv 1^{2}(\bmod 3)$ ，故由定理 3 知
\[
(3)=3 O_{K}=\wp_{1} \wp_{2}, \quad \wp_{i}=(3, \sqrt{-5} \pm 1)=(3,1 \pm \sqrt{-5})
\]
而 $-5 \equiv 3(\bmod 4)$, 故
\[
(2)=2 O_{K}=\wp^{2}, \quad \wp=(2,1+\sqrt{-5})
\]
所以我们有如下理想等式（注意记号 $(a)=a O_{K}$ ):
\[
(6)=(2)(3)=\wp^{2} \wp_{1} \wp_{2}=(2,1+\sqrt{-5})^{2}(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5}).
\]
而理想之积
\[
\wp_{1}=(1+\sqrt{-5})
\]
是主理想一这是因为 $\wp \wp_{1}=(2,1+\sqrt{-5})(3,1+\sqrt{-5})$ 由如下 4 个元素生成：
\[
2(1+\sqrt{-5}), 3(1+\sqrt{-5}), 6,(1+\sqrt{-5})^{2}
\]
前两数之差为 $1+\sqrt{-5}$, 而其余 3 个数是 $1+\sqrt{-5}$ 的倍数。 同理知
\[
\wp_{2}=(1-\sqrt{-5})
\]
故有理想的等式：
\begin{equation*}
(6)=(2)(3)=\left[\wp^{2}\right]\left[\wp_{1} \wp_{2}\right]=\left[\wp_{1}\right]\left[\wp_{2}\right]=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) . \tag{1}
\end{equation*}
也就是说， (6) $=\wp \wp_{1} \wp_{2}$ 是 4 个素理想的乘积， 且这些素理想 $\wp, \wp_{1}, \wp_{2}$ 都不是主理想 (由例 3 的表可知 $h=2$, 故 $O_{K}$ 不是 PID, 必然有的理想不是主理想). 但
\[
\wp \wp=(2), \wp_{1} \wp_{2}=(3), \wp_{1}=(1+\sqrt{-5}), \wp_{2}=(1-\sqrt{-5})
\]
都是主理想， 因此 $(6)=\wp \wp \wp_{1}$ 的 4 个素理想因子， 以两种方式组合为主理想， 如 (1)式。 这就优雅地揭示了 § 7.5 例 1 中元素 (数)分解不唯一的奥秘：
\[
2 \cdot 3=6=[1+\sqrt{-5}] \cdot[1-\sqrt{-5}]
\]
因此， 求取代数数域 $K$ 的理想类数 $h(K)$, 判断哪些数域 $K$ 的类数 $h(K)=$ 1 (以及研究理想类群的性质), 是数论中心课题之一。 首先， 易证明， 任意代数数域的理想类数 $h(K)$ 是有限正整数。
\end{example}

\begin{example}%例10
每个数域 $K$ 都有一个 Minkowski(闵可夫斯基) 常数 $M_{K}$, 可用来计算类数。 有定理： $O_{K}$ 的每个理想类中必有理想 $J$ 满足
\[
N(J) \leqslant M_{K}
\]
其中 $N(J)$ 是理想 $J$ 的范数 (性质类似于代数数的范数). 满足这一不等式的理想 $J$ 往往只有少数几个， 然后再讨论这有限几个 $J$ 可分为几个类就可以了。

对二次数域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, 令 $D=d$ 或 $4 d （$ 当 $d \equiv 1(\bmod 4)$ 或否), $D$ 称为 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的判别式 (discriminant). 则 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的 Minkowski 常数为
\[
M_{K}= \begin{cases}\frac{2}{\pi} \sqrt{|D|}, & \text { 当 } K \text { 为虚二次域; } \\ \frac{1}{2} \sqrt{|D|}, & \text { 当 } K \text { 为实二次域。 }\end{cases}
\]
而对 $O_{K}$ 的素理想 $\wp$, 当其为分歧、分裂、惯性时 (见定理 3), 范数分别为 $p$, $p, p^{2}$.

例如， 对 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-19}), M_{K}=\frac{2}{\pi} \sqrt{|D|}=\frac{2}{\pi} \sqrt{19} \approx 2.7$, 故每类中有理想 $J$ 使 $N(J)<3$ (即 $N(J)=1$ 或 2 ). 而 $p, p, p^{2}$ 为 1 或 2 的 $p$ 只有 $p=2$ 有可能; 但
\[
-19 \equiv 5 \quad(\bmod 8)
\]
按照定理 $3(2), 2 O_{K}=(2)$ 是素理想， $N((2))=4$ 不满足要求。 故使 $N(J)<3$的 $J$ 只有一个， 即 $J=(1)$. 故 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ 得理想类数 $h(-19)=1$.
\end{example}

\begin{theorem}%定理4
(1)（Gauss-Baker-Stark）恰有 9 个虚二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类数 $h(d)=1$ (即 $O_{K}$ 是 UFD), 它们是
\[
d=-1, \quad-2, \quad-3, \quad-7, \quad-11, \quad-19, \quad-43, \quad-67, \quad-163
\]
这里的虚二次域比上节定理 2 给出的 Euclid 域多出 4 个 $(d=-19,-43,-67$, $-163)$, 这 4 个域给出的 $O_{K}$ 是 UFD 而非 ED 的著名例子。

 (2) 实二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类数 $h(d)=1$ (即 $O_{K}$ 是 UFD) 的例子非常多。特别， 对 $1<D<100$, 除去 4 个例外均有 $h(d)=1$ (4 个例外是 $D=40,60,65$, 85. 类数都是 2 ).
\end{theorem}

\begin{remark}%注记1
“恰有 9 个虚二次域类数为 1 ”这一事实， 最初由 Gauss 猜想， Gauss 还算出这 9 个域的类数确实为 1 , 但是否还有第 10 个虚二次域这一问题， 长期得不到解决。 直到 1966-1967 年， 才由 Baker 和 Stark 独立证出， 从而获得 Fields 奖（[42], [1]).
\end{remark}

对虚二次域， 有进一步的 Gauss 猜想：具有任意给定类数 $h$ 的虚二次域的个数 $\mathrm{G}(h)$ 是有限数。 在 1971 年， Baker 和 Stark 又分别证明了 $G(2)=18$. 在 1983 年， Goldfeld-Gross-Zagier 彻底解决了 Gauss 虚二次域的类数猜想。

\begin{remark}%注记2
对于实二次域 $K=Q(\sqrt{d})$, Gauss 猜想： 有无限多 $d>0$ 使 $h(d)=1$.

这一猜想至今远未解决， 但已经有许多结果。 有许多关于 $h(d)=1$ 的判则：

例如 [73]、[74] (及所引文献) 给出不少判则。 特别有： 若 $d=s^{2}+r$, $|r|=1$ 或 4 , 则 $h(d)=1$ 当且仅当小于 $\sqrt{d-1} / 2$ 的素数 $p$ 在 $K$ 中均惯性。 (例如 $d=29=25+4$ 时， 小于 $\sqrt{d-1} / 2<3$ 的 $p$ 只有 2 , 惯性 (定理 3), 故 $h(d)=1$.\\
而 $d=26$ 时， 小于 $\sqrt{d-1} / 2=2.5$ 的 $p$ 只有 2 , 分歧 (定理 3 ), 故 $h(d) \neq 1$ (实为 2).)

又如 [76] 给出， 当 $d=\left(z^{n}+t-1\right)^{2}+4 t\left(t \mid z^{n}-1, z\right.$ 为奇数), 则 $n \mid h(d)$ (而取 $t=1$ 则得到 $\left.d=z^{2 n}+4\right)$. 特别， 这证明了： 对任意给定的正整数 $n$, 类数是 $n$的倍数的实二次域有无限多个。

再如 [18]和 $[71]$ 给出 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的类数 $h(d)$ 许多公式。 例如， 记 $\varepsilon=t+$ $u \sqrt{d}$ 为 $K$ 的基本单位， 则
\[
3 \operatorname{tuh}(d) \equiv 2 h(-d) \quad(\bmod 8)(\text { 当 } d \equiv 3 \quad(\bmod 8)).
\]
参考文献中还给出其他一些关于二次域类群类数等数论方面的论文结果。代数数域和函数域类群类数等方面的研究， 是数论的主要课题之一。 至今未知领域还很广泛。 连实二次域类数的 Gauss 猜想， 也远未能解决。
\end{remark}

